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五年级数论问题:完全平方数

来源:唐山奥数网整理 2011-07-04 09:22:02

  1.一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。

  2.求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方

  3.求证:11,111,1111,这串数中没有完全平方数

  4.求满足下列条件的所有自然数:

  (1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数

  5.甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。为了平均分配,甲应该补给乙多少元?

  完全平方数习题答案:

  1.解答:设此自然数为x,依题意可得

  x-45=m^2; (1)

  x+44=n^2 (2)

  (m,n为自然数)

  (2)-(1)可得 :

  n^2-m^2=89或: (n-m)(n+m)=89

  因为n+m>n-m

  又因为89为质数,

  所以:n+m=89; n-m=1

  解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

  2.解答:设四个连续的整数为,其中n为整数。欲证

  是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

  证明 设这四个整数之积加上1为m,则

  m为平方数

  而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

  3.解答:形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即

  或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

  证明 若,则

  因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

  若,则

  因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

  综上所述,不可能是完全平方数。

  4.解答:设,其中n,N为自然数,可知N为奇数。

  11|N - 4或11|N + 4

  或

  k = 1

  k = 2

  k = 3

  k = 4

  k = 5

  所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

  5.解答:n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6。所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。

百科词条:奥数 五年级 平方

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